面向标记条件分布的算子学习及其在非交换系统均值场控制中的应用

我们研究作用于具有指定边际分布的概率测度上的算子的近似问题。设 $I$ 为带有参考测度 $\lambda$ 的标签空间，定义 $\cal M_\lambda$ 为第一个边际为 $\lambda$ 的 $I\times \mathbb{R}^d$ 上的概率测度集合。通过消分，$\cal M_\lambda$ 中的元素对应于标记条件分布的族。定义在此受约束的测度空间上的算子在具有非交换代理的均值场控制问题中自然出现。我们的主要理论结果在 $\cal M_\lambda$ 上的连续算子建立了通用逼近定理。该证明结合了概率测度的柱状逼近与 DeepONet 类型的分支-干 neural 架构，得到此类算子的数据维表示。我们进一步引入了一种采样策略，用于生成 $\cal M_\lambda$ 中的训练测度，使其在实际学习此类条件均值场算子方面具有可行性。我们将该方法应用于非均匀（不可交换）系统均值场控制问题的数值求解，从而扩展了面向均匀（可交换）系统的先前神经方法。数值实验说明了所提出框架的准确性和计算有效性。