多边形的非局部等周问题：Hardy-Littlewood与Riesz不等式

给定$L ^ 1 _{\rm loc} (\Bbb{R} ^ 2 ; \Bbb{R}_+)$中一个非增且径向对称的核，我们研究当 admissible 区域类为给定面积和$N$边的多边形族时，经典Hardy-Littlewood与Riesz不等式的对应形式。后者对应于研究非局部版本的多边形等周问题。我们证明，对每个$N \geq 3$，正$N$边形对Hardy-Littlewood不等式是最优的。Riesz不等式的情况则不同：虽然对$N = 3$和$N = 4$已知正三角形和正方形是最优的，但对$N\geq 5$，我们证明可能发生对称或对称破缺(即正$N$边形可能最优也可能非最优)，取决于$N$的值和核的选取。