扭结的非交换 $A$-多项式

本文目的有二：引入一种多变量创造性裂项法（multivariable creative telescoping method），并将其应用于量子拓扑中的一个问题，即计算扭结的非交换 $A$-多项式。我们的多变量创造性裂项法使我们能够针对形式为 $J(n)=\sum_k c(n,k) \hatJ (k)$ 的和式计算线性递推关系，前提是已知 $(\hatJ(n))$ 的递推关系及超几何核 $c(n,k)$。作为该方法的应用，我们显式计算了具有 -8 和 11 个交叉点的扭结的非交换 $A$-多项式。结的非交换 $A$-多项式编码了该结的有色 Jones 多项式序列所满足的首一、线性、最小阶 $q$-差分方程。其在 $q=1$ 时的特化被猜想为更广为人知的结的 $A$-多项式，后者编码了关于结补集几何与拓扑的重要信息。与易于计算 50 个交叉点结的 Jones 多项式不同，$A$-多项式更难计算，且对于某些具有 12 个交叉点的结尚属未知。