实 Jacobian 猜想的充要条件

实 Jacobian 猜想断言：若 $F=\left(f^1,\ldots,f^n\right):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$ 是多项式映射且 $\det DF$ 处处非零，则 $F$ 为全局单射。第一部分通过动力系统定性理论的方法研究二维实 Jacobian 猜想。借助 Bendixson 紧化，可由与多项式映射 $F$ 相关联的哈密顿系统得到一个诱导多项式微分系统。我们证明以下陈述等价：(A) $F$ 为全局单射；(B) 诱导系统的原点为中心；(C) 诱导系统的原点为单调整奇点；(D) 诱导系统的原点无双曲扇形；(E) 诱导系统具有在原点有孤立极小值的 $C^k$ 首次积分且 $k\in\mathbb{N}^{+}\cup\{\infty\}$。此外，应用上述结果我们给出二维实 Jacobian 猜想成立的一个充要条件，即一个代数判据。通过定义判据函数，$F$ 为全局单射当且仅当当 $\left|x\right|+\left|y\right|$ 趋于无穷时判据函数的极限为无穷。该代数判据改进了 Braun 等人 [J. Differential Equations {\bf 260} (2016) 5250-5258] 的主要结果。第二部分给出了 $n$ 维实 Jacobian 猜想的充要条件。利用非线性泛分析工具，$F$ 为全局单射当且仅当当 $\parallel\mathbf{x}\parallel\rightarrow\infty$ 时 $\parallel F\left(\mathbf{x}\right)\parallel$ 趋于无穷，这是上述代数判据的推广。作为应用，我们给出了 Cima 关于 $n$ 维实 Jacobian 猜想结果 [Nonlinear Anal. {\bf 26} (1996) 877-885] 的一个另证。