Morse 极小系统在近连续意义下 Kakutani 等价于二进制 odometer

若 Polish 概率空间 $X$ 和 $Y$ 上的遍历同胚 $T$ 和 $S$ 之间存在满测度子集 $X_0$ 和 $Y_0$ 之间的轨道等价 $\phi: X_0 \rightarrow Y_0$，使得对于某个正测度的 $A \subset X_0$，$\phi$ 限制为诱导系统 $T_A$ 和 $S_{\phi(A)}$ 的可测同构，则称它们是均匀 Kakutani 等价的。对均匀 Kakutani 等价的研究可追溯至二十世纪七十年代，众所周知，任意两个零熵松散 Bernoulli 系统都是均匀 Kakutani 等价的。但均匀 Kakutani 等价是一种纯粹的可测关系，而诸如 Morse 极小系统之类的系统既是可测的又是拓扑的。最近，del Junco、Rudolph 和 Weiss 研究了一种称为近连续 Kakutani 等价的新关系。近连续 Kakutani 等价是一种均匀 Kakutani 等价，其中 $X_0$ 和 $Y_0$ 也是不变 $G_\delta$ 集，$A$ 在测度零范围内既开又闭，且 $\phi$ 是从 $X_0$ 到 $Y_0$ 的同胚。已知近连续 Kakutani 等价严格强于均匀 Kakutani 等价，并且近连续 Kakutani 等价是将均匀 Kakutani 等价自然加强到近连续范畴的结果——在该范畴中，映射在移除零测集后是连续的。在本文中，我们证明了 Morse 极小代换系统在近连续意义下 Kakutani 等价于二进制 odometer。