三维辛 Monge-Ampère 方程空间上的矩映射

对于任意未知函数为一元的二阶标量偏微分方程 $\mathcal{E}$,我们将其解释为二阶 jet 空间 $J^2$ 的超曲面,并通过 $\mathcal{E}$ 的特征曲线,构造了底层接触流形 $J^1$ 的接触分布的一个由二次曲线簇组成的子丛。我们称之为与 $\mathcal{E}$ 相关联的接触锥结构。随后我们聚焦于含 3 个自变量的辛 Monge-Ampère 方程,它们自然由一个 13 维实射影空间参数化。若过渡到复数域 $\mathbb{C}$,该射影空间正是简单李群 $\mathsf{Sp}(6,\mathbb{C})$ 的 14 维不可约表示的项目化:其相伴的矩映射允许定义一个从三维辛 Monge-Ampère 方程空间到 6 维辛向量空间上二次型空间的项目化的有理映射 $\varpi$。我们详细研究了 $\varpi$ 像的零轨迹(此处称为余特征簇)与三维 Monge-Ampère 方程 $\mathcal{E}$ 的接触锥结构之间的关系:在非退化符号的假设下,我们证明这两种构造是一致的。达成该结果的关键工具是一份互不等价的 6 维辛空间上二次型的完整列表,这本身也具有独立的意义。