Barth-Nieto 五次曲面的模形式

Barth 与 Nieto 发现了一个显著的五次三维流形，它参数化属于具有 (1,3)-极化与 2 级结构的阿贝尔曲面的 Heisenberg 不变 Kummer 曲面。该五次曲面的一个双覆盖（也是一个 Calabi-Yau 簇）双有理等价于具有 (1,3)-极化与 2 级结构的阿贝尔曲面的模空间 {\cal A}_3(2)。由此，相应的准模群 \Gamma_3(2) 有唯一的权 3 尖点形式。在本文中我们找到了这个尖点形式，即 \Delta_1^3。形式 \Delta_1 是一个显著的权 1 尖点形式，带有一个关于准模群 \Gamma_3 的特征标。它有几个有趣的性质。其一是它容许无穷乘积表示，其二是它在 Siegel 空间中的对角线上以 1 阶消失。事实上 \Delta_1 是具有这后一性质的短系列模形式中的一个元素。利用 \Delta_1 是关于群 \Gamma_3(2) 的权 3 尖点形式这一事实，我们给出了模空间 {\cal A}_3(2) 的光滑射影 Calabi-Yau 模型的一个独立构造。