Siegel 三-fold 的commutator 覆盖

我们研究关于参数群 $\Gamma_t$ 相对于低权重带字符的模形式的存在与否，并讨论其引起的几何后果。通过使用高级的 Maa\ss\ lifting 方法，我们可以构造许多此类模形式的例子，特别是 weight 3 cusp form 的例子。因此我们发现了许多 $\Cal A_t$ (1,t)-仿射阿贝尔 surface 的低度数的阿贝尔覆盖，这些覆盖并非 unirational。我们也确定参数群 $\Gamma_t$ 及其度为 2 的扩张 $\Gamma^+_t$ 的 commutator 子群。这对 $\underline{\Cal A}_t$ 的 Picard 群有应用。最后我们证明了低权重模形式的不存在定理。作为我们的主要结果之一，我们得到定理：参数群 $\Gamma_t$ 的最大阿贝尔覆盖 $\Cal A_t^{com}$ 的几何 genus 为 0 当且仅当 t=1,2,4 或 5。我们也证明 $\Cal A_t^{com}$ 在 t=3 和 7 时几何 genus 为 1。