奇异欧几里得 Hopf 叶分布的最小 Lie 群体与∞ 李象腔

著名的奇异叶分解$\mathcal{L}_{OH}$由欧几里得数$\mathbb{O}^2\cong\mathbb{R}^{16}$上的 Hopf 构造产生，尚无已知的 Lie 群作用可生成它。本文我们构造了一个$\mathrm{G}_2$-等变 Lie 群体$\mathcal{G} \Rightarrow \mathbb{O}^{2}$，其轨道与$\mathcal{L}_{OH}$一致。其 Lie 象腔$E=\mathrm{Lie}(\mathcal{G})$形式为$\mathbb{O}^4 \to \mathbb{O}^2$，具有多项式结构函数。其节 sheaf 可诱导$\mathcal{F}_{OH} := \rho(\Gamma(E))$在$\mathbb{O}^{2}$上的奇异叶，我们称之为奇异欧几里得 Hopf 叶$\mathcal{F}_{OH}$。证明了$\mathcal{F}_{OH}$是所有产生$\mathcal{L}_{OH}$的奇异叶$\mathcal{F}$中最大的——在多项式、实分析以及光滑情形下均如此。我们将$E$扩展为一个 Lie $3$-象腔，作为 universal Lie $∞-$象腔的最小长度代表。这使得我们能够证明$E$是最小秩 Lie 象腔且$\mathcal{G}$是产生$\mathcal{F}_{OH}$的最低维数 Lie 群体。叶分解$\mathcal{L}_{OH}$是已知的少数奇异黎曼叶之一，意义为 Molino，其不能由局部等距(局部非齐次)生成。我们通过进一步表明，任何产生$\mathcal{L}_{OH}$的光滑奇异叶$\mathcal{F}$都不能即使是 Hausdorff Morita 等价于在黎曼流形$(M,g)$上由局部等距生成的奇异叶$\mathcal{F}_M$。此外，我们证明了不存在实分析奇异叶$\mathcal{F}$可产生$\mathcal{L}_{OH}$，其将$(\mathbb{R}^{16}, g_{st}, \mathcal{F})$转化为如\cite{NS24}所述的模块奇异黎曼叶。