随机0/1多面体中的Mihail-Vazirani猜想与强边扩展性

我们研究随机0/1多面体$P^d_p$的图的边扩展性，该多面体定义为$\{0,1\}^d$中点的随机子集的凸包，其中每个点以概率$p$独立保留。此问题由Gillmann和Kaibel在二十多年前提出，此后得到了广泛研究。我们证明，对于每个固定的$\varepsilon>0$和每个$p\in(0,1-\varepsilon]$，以高概率$P^d_p$的图具有边扩展性$\Theta(d)$。这改进了Ferber、Krivelevich、Sales和Samotij先前已知的最佳界，并以一种强形式验证了随机0/1多面体著名的Mihail-Vazirani猜想。尽管对于$p\ge 1/2+\varepsilon$，扩展因子$\Theta(d)$通常是最优的，我们还证明了在$p=1/2$处行为发生剧烈变化。即，对于每个固定的$\varepsilon>0$和每个整数$k\ge 2$，如果$p\le 1/2-\varepsilon$，则以高概率$P^d_p$的图具有边扩展性$\Omega(d^k)$。因此，随机0/1多面体在$p=1/2$处表现出有趣的相变。