Yang-Mills 场的能隙问题

我们考虑装备 Lorentz 度规的 $\mathbb{R}^4$ 上 Yang-Mills 场的约化 Hamilton 量。我们证明该 Hamilton 量在最低能量点处 Taylor 展开的二次量子化主项 $H_0$ 具有能隙，当且仅当零不是辅助自伴算符 ${\rm curl}=*d$ 谱中的点，该算符定义于 $\mathbb{R}^3$ 上满足 ${\rm div}~ \omega=*d*\omega=0$ 的一形式 $\omega$ 空间，其中 $*$ 为关联于 $\mathbb{R}^3$ 上度规的 Hodge 星算符，$d$ 为外微分。在此情形下，约化构型空间的经典最低能量点是 Yang-Mills 场约化 Hamilton 量势能项的非退化临界点，此意义依 Palais 所言。