几何节点罗尔指数差的马兆克奇茨-齐格姆属性

我们研究阶数为 $n$ 的罗尔指数差是否具有马兆克奇茨-齐格姆（MZ）属性：即条件 $f(h) = o(h^{n-1})$ 和 $Df(h) = o(h^n)$ 是否蕴含 $f(h) = o(h^n)$。已知对于一些经典例子（如 $\{0, 1, q, \dots, q^{n-1}\}$ 和 $\{1, q, \dots, q^n\}$）具有几何节点，上述推论成立，导致人们推测这些是唯一具有MZ属性的罗尔指数差。然而，第三阶例子 $\{ -1, 0, 1, 2\}$ 已反驳了这一猜测，我们在此提供进一步的反例并给出一般分类。我们通过构建递推框架，建立罗尔指数差具有MZ属性的完整解析判据：分析当函数 $R(h)$ 满足 $D(h) = R(qh) - A R(h)$，且 $D(h) = o(h^n)$ 和 $R(h) = o(h^{n-1})$ 时，是否蕴含 $R(h) = o(h^n)$。我们证明，这当且仅当 $A$ 位于由 $q$ 和 $n$ 决定的临界模数环形区域之外时成立，涵盖 $|q| > 1$ 和 $|q| < 1$ 的情况。这导致我们对所有具有几何节点的罗尔指数差中具有MZ属性的完全分类，并提供适用于更广泛广义差分类目的灵活解析框架。