模形式、Schwarzian 条件与物理中微分方程的对称性

我们给出使线性微分方程保持协变的无限阶有理变换的例子。这些例子是重整化群精确表示的非平凡但足够简单的说明。我们首先在二阶线性微分算子上说明协变性质，这些算子关联到将同一个 $_2F_1$ 超几何函数与不同有理回拉联系起来的恒等式。我们提供先前有理函数协变的两个新的更一般结果：一个新的 Heun 函数例子和一个更高亏格的 $_2F_1$ 超几何函数例子。然后我们聚焦于将同一个超几何函数与两种不同代数回拉变换联系起来的恒等式：此类显著恒等式对应于模形式，该代数变换是 Casale 一篇论文中出现的另一个微分代数 Schwarzian 方程的解。进一步，我们证明第一个微分代数方程可视为最后一个 Schwarzian 微分条件的子情形，该限制对应于某个关联的二阶线性微分算子的因式分解条件。最后，我们还探索这些结果的推广，例如对 $_3F_2$ 超几何函数，并表明其中一个仅通过 Clausen 恒等式归约为先前的 $_2F_1$ 情形。在 $_2F_1$ 超几何框架下，Schwarzian 条件囊括了椭圆曲线理论的所有模形式与模方程，但这两个条件实际上比椭圆曲线或 $_2F_1$ 超几何函数更丰富，正如在 Heun 和更高亏格例子中所见。本工作强烈激励在物理学中发展更多的微分代数对称性分析。