高亏格代数空间曲线的模性与均匀化、其由上同调群及 $E_6$、$E_7$、$E_8$ 奇点给出的不同算术实现

我们证明了 $\mathbb{P}^5$ 中由六个变量的 $21$ 个四次多项式构成、亏格为 $50$ 的代数空间曲线 $Y$ 的模性，所用方法是通过 $13$ 阶 theta 常数的显式模参数化。这为高亏格代数空间曲线提供了模性、显式均匀化及算术型双曲均匀化的一个例子。特别地，它给出了希尔伯特第 22 问题的新例子。这给出了 $21$ 个 $13$ 阶模方程，极大改进了 Ramanujan 与 Evans 关于构造 $13$ 阶模方程的结果。我们证明 $Y$ 同构于模曲线 $X(13)$。相应的理想 $I(Y)$ 在 $\text{SL}(2, 13)$ 作用下不变，这导出一个 $21$ 维可约表示 of $\text{SL}(2, 13)$，其分解为 $1$、$7$ 和 $13$ 维表示的直接和，给出了 $X(13)$ 的两个不同算术实现，分别由 $\text{SL}(2, 13)$ 不可约表示的字符域 $\mathbb{Q}(\chi)=\mathbb{Q}(\zeta_7+\zeta_7^{-1})$ 或 $\mathbb{Q}(\chi)=\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ 给出，对应于在 $X(13)$ 上取值于凝聚代数层上的射影或仿射簇上同调群的分解，以及 $Y$ 的几何构造、退化主级数及 $\text{SL}(2, 13)$ 的 Steinberg 表示的几何实现。投影 $Y \rightarrow Y/\text{SL}(2, 13)$（辨认为 $\mathbb{CP}^1$）是一个伽罗瓦覆盖，其一般纤维被解释为 $13$ 级模方程 $\Phi_{13}(\cdot, j)=0$ 的伽罗瓦预解式。不变多项式环 $(\mathbb{C}[z_1, z_2, z_3, z_4, z_5, z_6]/I(Y))^{\text{SL}(2, 13)}$ 在 $X(13)$ 上引出关于 $E_6$、$E_7$ 和 $E_8$-奇点理论的新视角。