模曲线、Tate-Shafarevich 群与带离散电荷的 Gopakumar-Vafa 不变量

我们证明，对于 $N\le 5$，度为 $N$ 的一般亏格一曲线的弦 Kahler 模空间是 $\Gamma_1(N)$ 模曲线 $X_1(N)$。这意味着模曲线的尖点与具有 $N$-截面的亏格一纤维化 Calabi-Yau 流形的弦 Kahler 模空间中的某些大体积极限之间存在对应。利用 M 理论与 F 理论中的 Higgs 转移以及拓扑弦配分函数的模性质，我们将这些大体积极限辨识为亏格一纤维化 Tate-Shafarevich 群的元素。奇异元素以在奇点处带有挠 B-场的非交换分解形式出现。在各大大体积极限处出现的拓扑弦振幅通过模变换相关联。特别地，我们发现光滑亏格一纤维化 Calabi-Yau 三重的拓扑弦配分函数经 Fricke 对合变换为非交换 Jacobian 分解的配分函数。在 Calabi-Yau 三重情形下，我们提出以关联于带离散电荷 BPS 态的 Gopakumar-Vafa 不变量对奇异纤维化及其非交换分解的配分函数进行展开。对于具有 5-截面的亏格一纤维化，这为在最大幂幺单值性的某些无理点处出现的配分函数提供了计数解释。