临界时空维度中的 Lovelock 引力

众所周知，在临界 (2+1=3) 维度中，线性依赖于 Riemann 曲率的 Einstein 引力真空是平凡的，因为其真空解是平直的。事实证明，这对于任何奇数临界 $d=2n+1$ 维度普遍成立，其中 $n$ 是定义 Riemann 中齐次多项式的次数，其迹为 $n$ 阶 Lovelock 多项式的高阶类比。这是 $n$ 阶纯 Lovelock 引力的“曲率”，因为其 Bianchi 导数的迹给出了相应的 Einstein 张量类比 \cite{bianchi}。因此，纯 Lovelock 引力中的真空在奇数临界 (2n+1) 维度中总是平凡的，这意味着它是纯 Lovelock 平直的，但除非 $n=1$，否则它不是 Riemann 平直的；而当 $n=1$ 时，它描述了一个全局单极子的场。此外，通过添加 Lambda，我们获得了 BTZ 黑洞的 Lovelock 类比。