Dehn 扭转的对数

通过引入具有一个边界分支的紧致定向曲面上环路的不变量，我们给出了 Dehn 扭转在该曲面基本群的完备群环上作用的显式公式。该不变量可以被视为 Dehn 扭转的“对数”。该公式推广了描述曲面第一同调群作用的经典公式，以及 Morita 对扩展第一和第二 Johnson 同态的显式计算。在证明中，我们在 Kontsevich 形式辛几何的框架下使用了 Goldman 李代数的同调解释。作为应用，我们证明了简单闭曲线的 Dehn 扭转在曲面基本群第 $k$ 次幂零商上的作用，仅取决于该曲线在第 $k$ 次商中的共轭类。