广义德恩 twist 与曲面及同调圆柱

设 $\Sigma$ 为紧定向曲面。沿每条简单闭曲线 $\gamma \subset \Sigma$ 的德恩 twist 诱导出 $\Sigma$ 的基本群 $\pi$ 的自同构。若允许曲线 $\gamma$ 有自交，则有两种推广此类自同构的可能方式。一种方式是考虑沿 $\gamma$ 的“广义德恩 twist”：它是 $\pi$ 的 Malcev 完备化的一个自同构，其定义涉及交运算且只依赖于 $\gamma$ 的同伦类 $[\gamma]\in \pi$。另一种方式是在通常的圆柱 $U:=\Sigma \times [-1,+1]$ 中选取一条投影到 $\gamma$ 上的纽结 $L$，沿 $L$ 做手术得到同调圆柱 $U_L$，并令 $U_L$ 作用于 $\pi$ 的每个幂零商 $\pi/\Gamma_{j} \pi$（其中 $\Gamma_j\pi$ 表示由长度为 $j$ 的交换子生成的 $\pi$ 的子群）。本文在假设 $[\gamma]\in \Gamma_k \pi$（对某 $k\geq 2$）下，证明（无论 $L$ 如何选取）$U_L$ 诱导的 $\pi/\Gamma_{2k+1} \pi$ 的自同构与沿 $\gamma$ 的广义德恩 twist 一致，并依据 $[\gamma]$ 模 ${\Gamma_{k+2}}\pi$ 显式计算出该自同构。作为应用，我们得到了 Johnson 同态某些赋值的新公式，特别地说明了如何用若干显式同调圆柱和/或广义德恩 twist 实现其靶中的任意元素。