类二面体自同构环的自同构

自同构环是指所有内映射均为自同构的环。如下构造可得一大类自同构环：设 $m$ 为正偶数，$G$ 为阿贝尔群，$\alpha$ 为 $G$ 的一个自同构，且当 $m>2$ 时满足 $\alpha^2=1$。则在 $\mathbb Z_m\times G$ 上由 $(i,u)(j,v)=(i+j, ((-1)^{j}u+v)\alpha^{ij})$ 定义类二面体自同构环 $\mathrm{Dih}(m,G,\alpha)$。我们证明两个有限类二面体自同构环 $\mathrm{Dih}(m,G,\alpha)$ 与 $\mathrm{Dih}(\overline{m},\overline{G},\overline{\alpha})$ 同构当且仅当 $m=\overline{m}$、$G=\overline{G}$ 且 $\alpha$ 在 $G$ 的自同构群中与 $\overline{\alpha}$ 共轭。此外，对有限类二面体自同构环 $Q$，我们描述了 $Q$ 的自同构群及其由 $Q$ 的内映射组成的子群的结构。