自由群 Dehn 扭自同构的一致独立性

McCarthy 关于闭双曲曲面映射类群的定理指出，对于任意两个映射类 $\sigma,\tau \in \mathrm{Mod}(S)$，存在某个幂 $N$ 使得群 $\langle \sigma^N,\tau^N\rangle$ 要么是秩为 2 的自由群，要么是阿贝尔群，并给出了该二分性的几何判据。类似命题在线性群中是不成立的，而对于自由群的外自同构尚未解决。对于满足各种技术假设的指数增长外自同构，已知有几个类似结果。在本文中，我们证明了当 $\sigma$ 和 $\tau$ 是 $F_r$ 的线性增长外自同构时的类似命题，并给出了该二分性的几何判据。进一步地，Hamidi-Tehrani 证明了对于映射类群中的 Dehn 扭，这种独立性二分性是一致的：$N=4$ 即足够。以类似的方式，我们得到了一个仅依赖于自由群秩的 $N$。