自由域的逆高为无穷大

设 $X$ 为至少包含两个元素的有限集，$k$ 为任意交换域。我们证明了嵌入 $k<X> \longrightarrow D$ 的逆高为无穷大，其中 $D$ 表示自由代数 $k<X>$ 的通用（斜）分式域。因此，若 $H$ 表示 $X$ 上的自由群，则群代数 $k[H]$ 嵌入到 Malcev-Neumann 级数环中的逆高也为无穷大。这肯定地回答了 Neumann 于 1949 年提出的问题 [27, p. 215]。我们还给出了一族无穷多个 $k<X>$ 的非同构分式域示例，其逆高均为无穷大。我们证明了交换域与自由李代数的通用包络代数的交叉积的通用分式域，是由 Cohn（后来由 Lichtman）构造的分式域。这扩展了 A. Lichtman 的一项结果。