Clifford 群的不变量
组合数学
2007-05-23 v2
摘要
维数 2^m（m ≠ 3）中 Barnes-Wall 格 L_m 的自同构群是某个“Clifford 群” C_m（一个阶为 2^(1+2m) 的额外特殊群被一个正交群扩张而成）中指数为 2 的子群。该群及其复类比 CC_m 近年来出现在正交散布、Kerdock 集、Grassmann 空间中的填充、量子码、Siegel 模形式与球设计等的构造中。本文对 Runge 1996 年的结果给出更简单的证明：C_m 的 2k 次不变量空间由将长度为 2k 的二元自对偶码与域 GF(2^m) 张量积所得码的完整重量枚举子张成；当 m ≥ k-1 时它们构成一组基。我们也给出 L_m 与 C_m 的新构造：令 M 为具有 Gram 矩阵 [2, sqrt(2); sqrt(2), 2] 的 Z[sqrt(2)]-格。则 L_m 是 M 的第 m 次张量幂的有理部分，而 C_m 是该张量幂的自同构群。此外，若 C 是一个不由重量为 2 的向量生成的二元自对偶码，则 C_m 恰为 C 与 GF(2^m) 张量积之完整重量枚举子的自同构群。复群 CC_m 对所有这些结果都有类比，只需将“自对偶码”替换为“双偶自对偶码”。
引用
@article{arxiv.math/0001038,
title = {The invariants of the Clifford groups},
author = {Gabriele Nebe and E. M. Rains and N. J. A. Sloane},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0001038},
year = {2007}
}
备注
Latex, 24 pages. Many small improvements