阶为 $p^3$ 的 Heisenberg 群的整数群行列式

我们建立了非交换 Heisenberg 群（阶为 $p^3$）的整数群行列式所满足的一个同余式。我们刻画了所有与 $p$ 互素的决定值，给出了 $p$ 的倍数对应的锐整除条件，并确定了当 $p=3$ 时的所有值。我们还给出了关于 $p$ 的幂整除 $\mathbb Z_p^2$ 的群行列式的新的锐条件。对有限群而言，整数群行列式可理解为对应于 Lind 对 Mahler 测度的推广。我们推测了离散 Heisenberg 群以及源于平面和三维空间对称性的另两个无穷非交换群的 Lind-Mahler 测度。