GA(1,p)及相关半直积群的整数群行列式

我们考虑形如 $\mathbb Z_p$ 与 $\mathbb Z_n$ 的半直积的群，其中 $p$ 为素数且 $n\mid p-1$。我们完整描述了一次一般仿射群 GA(1,$p$) 在 $p=5,7,11,23$ 时的整数群行列式，以及 $\mathbb Z_7\rtimes \mathbb Z_3$、$\mathbb Z_{11}\rtimes \mathbb Z_5$ 和 $\mathbb Z_{13}\rtimes \mathbb Z_6$ 的整数群行列式，表明当 $n=p-1$ 或 $\frac{1}{2}(p-1)$ 时，由群行列式形式导出的明显可除性和同余条件对于这些类型的群既是充分的也是必要的（尽管在后一种情况下，我们需要处理二次域中整数的范数）。对于 $p=13$，该类型剩余群 $\mathbb Z_{13}\rtimes_5 \mathbb Z_4$ 和 $\mathbb Z_{13}\rtimes \mathbb Z_3$ 也成立（在适当的立方域和四次域中处理）。