带孔条带上加权光滑向量值函数的非齐次 Cauchy-Riemann 方程

本文致力于研究 Cauchy-Riemann 算子在空间 $\mathcal{EV}(\Omega,E)$ 上的满射性问题，该空间由 $\mathcal{C}^{\infty}$-光滑向量值函数构成，其在沿实轴带孔 $K$ 的条带上的增长由连续权函数族 $\mathcal{V}$ 所诱导。向量值是指这些函数取值于 $\mathbb{C}$ 上的局部凸 Hausdorff 空间 $E$。我们刻画了这样的权函数族 $\mathcal{V}$，它们给出了 Grothendieck-K\"othe-Silva 对偶 $\mathcal{O}(\mathbb{C}\setminus K)/\mathcal{O}(\mathbb{C})\cong\mathscr{A}(K)$（其中 $K\subset\mathbb{R}$ 为非空紧集）在加权全纯函数情形下的对应物。我们利用该对偶证明，在 $\mathcal{EV}(\Omega):=\mathcal{EV}(\Omega,\mathbb{C})$ 中 Cauchy-Riemann 算子 $\overline{\partial}$ 的核 $\operatorname{ker}\overline{\partial}$ 具有 Vogt 的性质 $(\Omega)$。随后，结合 Vogt 关于 Fr\'{e}chet 空间以及 Bonet 和 Doma\'{n}ski 关于 (PLS)-空间的分裂理论，并辅以关于 Cauchy-Riemann 算子 $\overline{\partial}\colon\mathcal{EV}(\Omega)\to\mathcal{EV}(\Omega)$ 满射性的已有结果，我们得到：当 $E:=F_{b}'$ 且某个满足 condition $(DN)$ 的 Fr\'{e}chet 空间 $F$ 存在，或当 $E$ 为具有性质 $(PA)$ 的超囿 (PLS)-空间时，Cauchy-Riemann 算子在 $\mathcal{EV}(\Omega,E)$ 上是满射的。这解决了 $\mathcal{EV}(\Omega)$ 上 Cauchy-Riemann 算子的光滑（全纯、分布）参数依赖问题。