关于雅可比乘子向量场的对称性与加权可积性

本文研究分析发散为零的向量场以及在 $n$ 维黎曼流形上存在雅可比乘子的向量场。我们首先引入一个作用于发散为零向量场空间的函数，用于量化由鞠尔曼--阿尔诺尔--莫尔 (KAM) 类型定理所描述的流形上由鞠尔曼不变环面所覆盖的比例。我们证明该函数在解析的、非退化的、阿伦--可积发散为零向量场处于 $C^{\omega}$ 拓扑下是连续的，并分析在小扰动下不变 $(n-1)$ 维环面的持久性与破坏。通过扩展该框架，我们研究具有雅可比乘子的向量场，这些向量场通过保持加权体积形式 $d\mu_{\rho}=\rho\,\Omega$ 来概括发散为零场。我们推导其对称场的局部结构，表明在适当的非退化与共振条件下，每个对称场都与不变环面相切。随后，我们定义加权部分可积性函数 $m_{\rho}(V)$，衡量满足 $\operatorname{div}(\rho V)=0$ 的向量场其准可积不变环面所占相空间加权比例。最后，我们基于有限时间 Lyapunov 指数 developing 一个数值算法来计算 $m_{\rho}(V)$，并在加权非线性发散为零系统中说明其行为，随非线性参数 $\alpha$ 的增大，展示从可积向部分可积再到不规则 regime 的转变。