从 Howe 对偶视角看 Higgs 代数与 Hahn 代数

Hahn 代数编码了同名正交多项式的双谱性质。在离散情形下，它同构于 Higgs 所辨识的多项式代数，即 $2$-球面上谐振子的对称代数。这两个代数被认定为通用代数 $\mathcal{U}(\mathfrak{u}(4))$ 的振子表示中 $\mathfrak{o}(4)$ 的 $\mathfrak{o}(2)\oplus\mathfrak{o}(2)$ 子代数的交换子。鉴于对 $(\mathfrak{o}(4),\mathfrak{su}(1,1))$ 在四个谐振子态矢量上的对偶作用，这一联系进一步与（离散）Hahn 代数在 $\mathcal{U}(\mathfrak{su}(1,1))\otimes\mathcal{U}(\mathfrak{su}(1,1))$ 中的嵌入相关联。通过维数约化自然可见，二维奇异振子以其 Higgs 代数为对称代数。