有限域上矩阵的埃尔米特零值域

设 $q$ 为素数幂。对于 $u=(u_1,\dots ,u_n), v=(v_1,\dots ,v_n)\in \mathbb {F}_{q^2}^n$，设 $\langle u,v\rangle := \sum _{i=1}^{n} u_i^qv_i$ 为 $\mathbb {F} _{q^2}^n$ 上的埃尔米特形式。固定一个 $\mathbb {F} _{q^2}$ 上的 $n\times n$ 矩阵 $M$。我们研究集合 $\mathrm{Num} _k(M):= \{\langle u,Mu\rangle \mid u\in \mathbb {F} _{q^2}, \langle u,u\rangle =k\}$ 在 $k=0$ 时的情况。当 $M$ 的系数属于 $\mathbb {F} _q$ 时，我们研究集合 $\mathrm{Num} _0(M)_q:= \{\langle u,Mu\rangle \mid u\in \mathbb {F} _q^n\}\subseteq \mathbb {F} _q$。集合 $\mathrm{Num} _1(M)$ 为 $M$ 的数值域，此前由 Coons, Jenkins, Knowles, Luke 和 Rault（$q$ 为素数 $p\equiv 3\pmod{4}$ 的情况）以及本人（任意 $q$）在论文中引入。我们详细研究了 $n=2$ 时的 $\mathrm{Num} _0(M)$ 和 $\mathrm{Num} _0(M)_q$。若 $q$ 为偶数，则可轻易描述任意 $n$ 下的 $\mathrm{Num} _0(M)_q$。