Fermat 曲线的 Heisenberg 覆盖

对于整数 $N\ge1$，K. Murty 与 D. Ramakrishnan 定义了第 $N$ 个 Heisenberg 曲线，作为上半平面关于模群某一非同余子群的紧化商 $X'_N$。他们问 Manin-Drinfeld 原理是否成立，即这些曲线尖点上的除子是否为 Jacobian 中的 torsion。我们给出了第 $N$ 个 Heisenberg 曲线作为第 $N$ 个 Fermat 曲线覆盖在 ${\bf Z}[\mu_N,1/N]$ 上的模型。我们证明 Manin-Drinfeld 原理对 $N=3$ 成立，但对 $N=5$ 不成立。我们表明 Rohrlich 对 Fermat 曲线尖点子群由生成元与关系给出的描述可由 Heisenberg 覆盖以及类似性质的高阶覆盖解释。曲线 $X_N$ 与经典模曲线 $X(n)$（对偶数 $n$）均支配 $X(2)$，这产生了 Jacobian 间的态射 $J_N\rightarrow J(n)$。我们证明后者具有像 $0$ 或一条 $j$-不变量为 $0$ 的椭圆曲线。顺便，我们给出了 $X'_{N}$ 同调的描述。