有墙西瓜的高度

我们推导了具有 $p$ 个分支的有墙西瓜矩的渐近性及其高度分布的弱极限。这推广了 de Bruijn、Knuth 和 Rice 关于种植平面树平均高度的著名结果，以及 Fulmek 和 Katori 等人关于双分支西瓜高度分布期望值与高阶矩的结果。矩的渐近性依赖于某些多维 Dirichlet 级数的解析行为。为了获得这一信息，我们证明了 Jacobi theta 函数之一的导数所满足的一个互反关系，该关系推广了著名的 Jacobi theta 函数互反律。