Gursky-Streets 方程

在 $\sigma_2$-Yamabe 问题背景下，Gursky-Streets 在紧致黎曼四维流形的固定共形类中的共形度量空间上引入了一个形式黎曼度量。Gursky-Streets 度量的测地线方程是一个完全非线性退化椭圆方程，且 Gursky-Streets 已证明了一个扰动方程的均匀 $C^{0, 1}$ 正则性。Gursky-Streets 应用该结果以及 Guan-Wang 流的抛物光滑化，证明了 $\sigma_2$-Yamabe 问题的解是唯一。一个关键要素是 Chang-Yang 的 $\cF$-泛函沿（光滑）测地线在 Gursky-Streets 度量以及 B. Andrews 关于正 Ricci 曲率流形上的加权 Poincare 不等式意义下的凸性。在本文中，我们建立了 Gursky-Streets 方程的一致 $C^{1, 1}$ 正则性。作为一个应用，我们可以严格建立基于 Gursky-Streets 度量的几何结构，特别是 $\cF$-泛函沿 $C^{1, 1}$ 测地线的凸性。这尤其给出了 $\sigma_2$-Yamabe 问题解唯一性的一个直接证明。