Gursky-Streets方程及其在 $\sigma_k$ Yamabe问题中的应用

Gursky–Streets方程作为共形几何中一种度量结构的测地线方程被引入。该几何结构在四维 $\sigma_2$ Yamabe问题唯一性的证明中起了重要作用。本文中,我们对 $2k\leq n$ 求解了具有一致 $C^{1, 1}$ 估计的Gursky–Streets方程。一个重要的新要素是证明了该算子在全部 $k\leq n$ 下的凹性。我们对凹性的证明严重依赖于Garding双曲多项式理论以及(交错)多项式实根理论的结果。结合此凹性,我们能够对全部 $n\geq 2k$ 的情形以一致 $C^{1, 1}$ \emph{先验估计}求解该方程。此外,我们首次建立了退化方程解的唯一性。作为一个应用,我们证明若 $k\geq 3$ 且 $M^{2k}$ 共形平坦,则 $\sigma_k$ Yamabe问题的任一解均共形微分同胚于 round sphere $S^{2k}$。