带旋流的轴对称理想流体流动的几何

黎曼流形 $M$ 的保体积微分同胚群的截面曲率可以提供关于 $M$ 上无粘不可压缩流体流动稳定性的信息。我们证明，由带旋流的轴对称流体流动生成的实心平环体体积形变群的子流形（记为 $\mathcal{D}_{\mu,E}(M)$），在包含场 $X = u(r)\partial_\theta$ 的每个截面中具有正截面曲率，当且仅当 $\partial_r(ru^2)>0$。这与 $\mathcal{D}_{\mu}(M)$ 上的情况形成鲜明对比，后者仅在包含 Killing 场 $X$ 的所有截面中具有非负截面曲率。我们还表明，该准则保证了沿由 $X$ 定义的测地线在 $\mathcal{D}_{\mu,E}(M)$ 上共轭点的存在性。