关于体积保守流动的全局十字截面的存在性

我们建立了一种用于判定闭合光滑流形 $M$ 上的非奇异体积保守流 $\Phi$ 是否存在全局十字截面的新标准。也就是说，如果 $X$ 是流的无限生成元且 $\Phi$ 保持光滑体积形式 $\Omega$，则 $\Phi$ 在以下情况下存在全局十字截面：存在一种光滑黎曼度 $g$ 使得 $M$ 上的黎曼体积为 $\Omega$，且 $g(X,X) = 1$，并且 $\lVert \delta_g (i_X \Omega) \rVert_g < 1$，其中 $\delta_g$ 表示相对于 $g$ 的 co-boundary；（等价地，$\lVert dX^\flat \rVert_g < 1$）。在这种情况下，实际上存在另一种光滑黎曼度，使得标准形式 $i_X \Omega$ 是 co-closed 的，从而是谐的。