平展同伦理论中的基本纤维序列

设 $k$ 为具有可分闭包 $\bar{k}\supset k$ 的域，并设 $X$ 为拟紧拟分离(qcqs)的 $k$-概型。我们利用 Barwick-Glasman-Haine 发展的 profinite Galois 范畴理论，快速概念性地证明如下 protruncated 与 profinite 平展同伦类型的序列 \begin{equation*} \Pi_{<\infty}^{\mathrm{\acute{e}t}}(X_{\bar{k}}) \to \Pi_{<\infty}^{\mathrm{\acute{e}t}}(X) \to \mathrm{BGal}(\bar{k}/k) \qquad \text{and} \qquad \widehat{\Pi}{}_{\infty}^{\mathrm{\acute{e}t}}(X_{\bar{k}}) \to \widehat{\Pi}{}_{\infty}^{\mathrm{\acute{e}t}}(X) \to \mathrm{BGal}(\bar{k}/k) \end{equation*} 为纤维序列。这为以下两种现象给出了共同的概念性原因：首先，$X$ 与几何纤维 $X_{\bar{k}}$ 的高阶平展同伦群同构；其次，若 $X_{\bar{k}}$ 连通，则 profinite 平展基本群序列 $1\to\hat{\pi}{}_{1}^{\mathrm{\acute{e}t}}(X_{\bar{k}})\to\hat{\pi}{}_{1}^{\mathrm{\acute{e}t}}(X)\to\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)\to 1$ 正合。它也证明了 SGA3 中“groupe fondamental \'elargi”的类似结果。