李理论的函子语义

Ehresmann 在 1950 年代引入可微群胚,可视为两条分叉研究路线的起点:多对象李理论(李代数胚与李群胚的研究)与概图(sketch)理论。本论文利用切范畴在这两条研究路线之间搭建桥梁,给出李代数胚与李函子的结构性刻画。为此,我们发展了对合代数胚(involution algebroid)理论,其为李代数胚的一种切范畴概图。我们证明李代数胚范畴恰为光滑流形中的对合代数胚范畴,而 Weil 代数范畴恰为一个对合代数胚的分类范畴。这将李代数胚范畴展现为一个切范畴函子范畴,并通过与函子 $\partial: \mathsf{Weil}_1 \to \mathcal{T}_{\mathsf{Gpd}}$ 的预复合给出李函子,从而将李代数胚与李函子带入函子语义的领地。