李范畴基础

我们引入基本观念并给出李范畴——即光滑流形范畴内部的范畴——的示例与结果。通过展示李范畴 C 的单位如何支配其可逆态射 G(C) 的行为,我们发展了 G(C) 构成李群胚的充分条件。我们表明由李群胚理论构造李代数胚的过程得以延续,并探问何时能重建 G(C) 的李代数胚。我们揭示态射上可逆性假设的缺失导致了线性代数中秩的自然推广,发展了其一般性质,并展示李范畴到李群胚的扩张 C↪G 的存在如何影响态射的秩与 C 的代数胚。此外,获得了关于具有良态边界的李幺半群与李范畴上不变向量场的某些完备性结果。将所发展框架置于物理过程语境中,我们通过观测与物理过程关联的熵变是一个函子,给出了统计热力学理论的严格方法。