可压缩流体的有限能量方法：Navier-Stokes-Korteweg 模型

这是系列论文中的第一篇，致力于研究可压缩流体的 Euler 方程组及其包含高阶项的增广版本的初值问题。我们涵盖具有有限总能量并享有某种对称性（例如平面对称性）的解；这些解可能具有无界振幅，并包含质量密度为零的空化区域。在本文中，我们关注色散激波，并分析与 Navier-Stokes-Korteweg 系统相关的零粘度 - 毛细力极限。具体而言，我们建立了有限能量解的存在性及其向 Euler 方程组熵解的收敛性。我们涵盖了一大类非线性 Navier-Stokes-Korteweg 本构律，其由两个主要条件决定，这两个条件关联了粘度系数和毛细力系数：一方面是强 coercivity 条件（我们如此称呼），它为与有效能量相关的积分耗散提供了有利的符号；另一方面是温和毛细力条件（我们如此称呼），它在逐点上限制了相对于粘度的毛细力强度。此外，还对本构函数的增长施加了相当温和的条件，这是为了定义 Navier-Stokes-Korteweg 系统的有限能量弱解所必需的，即使存在空化也是如此。我们的证明方法依赖于 Euler 方程组的精细代数性质，并结合了能量和有效能量估计、耗散和有效耗散估计、非线性 Sobolev 不等式、质量密度和速度的高可积性性质，以及基于熵的紧性性质。