主子式映射的纤维

本文探讨了一般域上主子式映射的纤维。主子式映射是将每个 $n\times n$ 矩阵映到其 $2^n$ 个主子式组成的 $2^n$-向量的映射。1984 年，Hartfiel 和 Loewy 提出了一个充分条件，足以保证主子式映射的纤维在对角等价意义下为单点。Loewy 随后在 1986 年改进了该条件。在本文中，我们给出了纤维在对角等价意义下为单点的充要条件。此外，我们建立了矩阵的不可约性与其行列式表示的不可约性之间的联系。利用这一联系，我们在任意域 $\mathbb{F}$ 上的 $n\times n$ 矩阵空间中完整刻画了对称矩阵和 Hermitian 矩阵的纤维。我们还运用这些技术回答了 Borcea、Brändén 和 Liggett 关于实稳定矩阵的一个问题。