行列式表示与主子式映射的像

本文探讨多仿射多项式的行列式表示，以及其对各类矩阵空间在主子式映射下的像的若干推论。我们证明了一个实多仿射多项式具有定 Hermite 行列式表示当且仅当其所有所谓的 Rayleigh 差可分解为 Hermite 平方，并利用这一刻画得出结论：Hermite 矩阵空间在主子式映射下的像由有限多个方程与不等式在 $({\rm SL}_2(\mathbb{R}))^{n} \rtimes S_{n}$ 作用下的轨道所割出。我们还研究了更一般域带二次扩张上的此类表示。Rayleigh 差的分解被证明是捕捉主子式映射微妙行为的有效工具。与 Hermite 情形相反，我们给出例子表明对任意域 $\mathbb{F}$，不存在有限方程集合，其轨道在 $({\rm SL}_2(\mathbb{F}))^{n} \rtimes S_{n}$ 下能对每个 $n$ 割出 $\mathbb{F}$ 上 $n\times n$ 矩阵在主子式映射下的像。