主子式的统计物理：图谱方法

行列式用于表示（有效）受阻力且独立元素组成的相互作用系统状态，如量子系统中的费米子以及学习问题中训练样本的子集。计算矩阵主子式幂之和是一项计算性难以完成的任务，相关于量子费米子系统的临界行为研究以及寻找学习算法中最具信息性训练数据子集。具体而言，正方矩阵的主子式可视为随机点过程（由矩阵索引集合）上的统计权重。每个索引子集的概率通常与其关联子矩阵行列式的正数幂成比例。我们利用对称正矩阵的行列式高斯表示，借 Bethe 近似估计主子式的分配函数（或自由能）及其熵。结果预计对沿对角线主导且具有局部树状结构的矩阵在渐近意义上精确。我们考虑次数为 $K=2,3,4$ 的随机正则图的拉普拉斯矩阵，精确刻画此类矩阵的相关子式结构。当增加主子式的正数幂（在此起仿温度作用）时，不会在此类沿对角线主导矩阵中观察到（有限温度）相变。