排斥粒子的随机与量子动力学：从随机矩阵理论到囚禁费米子

本统计物理学位论文聚焦于三类具有排斥相互作用的系统的研究：随机矩阵的特征值、不相交随机游走与囚禁费米子。这些系统存在诸多联系，不仅体现在其静态版本层面，也体现在其动力学版本层面。我们结合随机矩阵理论与随机微积分以及量子力学的工具，对这些系统进行了综合分析，以解决若干原创性问题。除详细阐述该领域并汇报博士期间取得的结果外，论文各章所展开的不同主题也为相关问题的研究提供了展望。具体而言，第一章为随机矩阵理论导论；我们详述其历史演进与众多应用，并介绍其基本概念、构造与结果。第二章讨论不相交随机游走；我们描述其与随机矩阵特征值过程之间的深刻联系，并展示在边界问题范围内所取得的成果。第三章以随机矩阵过程为中心，特别地引入了一种受 Kesten 随机递归启发的过程，并凸显其所建立的逆 Wishart 系综与囚禁于 Morse 势中的费米子之间的新联系。最后，第四章以桥过程的特例为核心，可对标量模型与矩阵模型进行联合处理；其中，我们发展了针对不相交标量桥的 Ferrari-Spohn 问题的推广，并作为开端展示了矩阵桥与随机矩阵其他方面的关联。