ABC 极小树结构的演化

原子-键连通性（ABC）指数是一种基于度的分子描述符，在化学中有多种应用。刻画具有最小 ABC 指数的树一直是一个难以解决的开放问题，即便经过认真尝试，仍被一些人视为数学化学中最引人入胜的开放问题之一。本文描述了具有足够多顶点的极值树的精确结构，并展示了当顶点数增长时其结构如何演化。一个有趣的事实是，它们的半径至多为 $5$，且除一个顶点外所有顶点的度至多为 54。事实上，除至多 $O(1)$ 个顶点外，其余顶点的度均为 1、2、4 或 53。令 $\gamma_n = \min\{\abc(T) : T \text{ 是阶为 } n \text{ 的树}\}$。研究表明 $\gamma_n = \tfrac{1}{365} \sqrt{\tfrac{1}{53}} \Bigl(1 + 26\sqrt{55} + 156\sqrt{106} \Bigr) n + O(1) \approx 0.67737178\, n + O(1)$。