准线性波动方程中非线性 Jeans 不稳定性的显现

本文为理解 Jeans 不稳定性的完全非线性版本这一长期存在的开放问题提供了关键性素材。我们建立了一组自增型 blowup 解，针对以下准线性波动方程组（作为 Peebles 方程和 Noh-Hwang 方程的模型）进行研究： $$\partial^2_t \varrho- \biggl(\frac{ \mathsf{m}^2 (\partial_{t}\varrho )^2}{(1+\varrho )^2} + 4(\mathsf{k}-\mathsf{m}^2)(1+\varrho )\biggr) \Delta \varrho = F(t,\varrho,\partial_{\mu} \varrho)$$其中 $F$ 给定为 F(t,\varrho,\partial_{\mu} \varrho):= \underbrace\frac{2}{3 } \varrho (1+\varrho) }_{ \text{(i) 自增}} \underbrace{-\frac{1}{3} \partial_{t}\varrho }_{ \text{(ii) 阻尼}} + \underbrace\frac{4}{3} \frac{(\partial_{t}\varrho )^2}{1+\varrho } }_{\text{(iii) Riccati}} + \underbrace{ \biggl(\mathsf{m}^2 \frac{ (\partial_{t}\varrho )^2}{(1+\varrho )^2} + 4(\mathsf{k}-\mathsf{m}^2) (1+\varrho ) \biggr) q^i \partial_{i}\varrho }_{\text{(iv) 对流}} - \mathtt{K}^{ij} \partial_{i}\varrho\partial_{j}\varrho. 结果表明，解在时间上可以达到任意大的尺度，从而在若干未来端点的 null 光线上引发自增型奇点，前提是对数据施加的非均匀扰动足够小。此外，解在长波长域中表现出接近 blowup 的行为。这种现象被称为非线性 Jeans 不稳定性，因为该波动方程与 Euler-Poisson 系统和 Einstein-Euler 系统中 Jeans 不稳定性问题的非线性版本密切相关，后者表征了宇宙中非线性结构的形成。$\varrho$ 的增长速率显著快于经典线性 Jeans 不稳定性解的增长速率。