$C^\infty$ 双曲微分同胚的嵌入流

在 [{\it American J. Mathematics}, 124(2002), 107--127] 中，我们证明了对于 $(\mathbb R^n,0)$ 中的 $C^\infty$ 双曲微分同胚芽 $F(x)=Ax+f(x)$，若 $A$ 具有实对数且其特征值为弱非共振的，则 $F(x)$ 可嵌入到一个 $C^\infty$ 自治微分系统中。该证明非常复杂，涉及 $F(x)$ 的嵌入周期向量场的存在性以及将 Floquet 理论推广到非线性 $C^\infty$ 周期微分系统。在本文中，我们将为这一最新结果提供一个简单直接的证明。接下来，我们将表明，对于某些 $C^\infty$ 微分同胚 $F(x)=Ax+f(x)$ 拥有 $C^\infty$ 嵌入流而言，上述结果中关于 $A$ 的实对数的弱非共振条件是必要的。最后，我们将证明：对于 $(\mathbb R^2,0)$ 中满足 $f(x)=O(|x|^2)$ 的 $C^\infty$ 双曲微分同胚芽 $F(x)=Ax+f(x)$，其拥有 $C^\infty$ 嵌入流当且仅当 $A$ 没有负特征值，或者 $A$ 有两个相等的负特征值且可对角化。