部分双曲系统的不变分布：分形图、过度正则性与刚性

我们提出了一种新方法，将分形几何与部分双曲动力学联系起来，揭示了若干与正则性跃迁和刚性相关的新现象。一个关键结果表明，对于具有收缩中心方向的部分双曲diffeomorphism $f \in \mathrm{Diff}^\infty_{\mathrm{vol}}(\mathbb{T}^3)$，$f$在$C^\infty$意义上是刚性的，当且仅当$E^s$和$E^c$都具有超过预期阈值的 H"older 指数。具体而言，我们证明：如果$E^s$的 H"older 指数超过预期值，则$E^s$为$C^{1+}$且$E^u \oplus E^s$可被 jointly 可积。如果$E^c$的 H"older 指数超过预期值，则$W^c$形成$C^{1+}$叶。如果$E^s$（或$E^c$）不表现出过度的 H"older 正则性，则必须具有分形图。这一和相关结果源于一种通用的非分形不变原理：对于在部分双曲系统 $f$ 上作的 skew product $F$，如果$F$在$W^u_f$沿基底方向上对纤维的扩张作用不强于$f$，则对于任何$F$不变的 section，如果$\Phi$没有分形图，则它在$W^u_f$上光滑且具有 holonomy 不变性。受此启发，我们提出了关于典型部分双曲diffeomorphism中不变分布的稳定分形或稳定光滑行为的新猜想。