波函数的赝厄米涂抹坐标表示

为了简化或近似的目的，一维实数坐标线被替换为所谓的Gauss-Hermite网格点的$N$元组。这些网格点被解释为一个三对角矩阵$\mathfrak{q}_0$的特征值，该矩阵被证明相当复杂。通过“第零”Dyson映射$\Omega_0$，“位置算符”$\mathfrak{q}_0$被进一步简化为一个等谱矩阵$Q_0$，该矩阵被认为对此目的最优。由于后一个矩阵是非厄米的，它在明显“虚假”的Hilbert空间${\cal H}^{(F)}:=\mathbb{R}^N$中不是一个可观测量。因此，最优算符$Q_0$被赋予其等谱化身族$\mathfrak{h}_\alpha$，$\alpha=(0,)\,1,2,...$。通过构造，它们在各自的依赖于$\alpha$的像Hilbert空间${\cal H}^{(P)}_\alpha$中是自伴的，这些空间是通过各自的“新”Dyson映射$\Omega_\alpha$从${\cal H}^{(F)}$获得的。在简化的最后一步，F上标空间中的内积以$\alpha$依赖的方式被重新定义。由此产生的“最简单”的、S上标表示${\cal H}^{(S)}_\alpha$（提供不同动力学）作为可接受的物理Hilbert空间，通过构造，与各自笨拙的、P上标且$\alpha$下标的物理Hilbert空间酉等价（即无法区分）。