完全多部图上陌生人与朋友图的连通性

对于顶点数为 $n$ 的简单图 $X$ 和 $Y$，陌生人与朋友图 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 是以所有双射 $\sigma: V(X) \to V(Y)$ 为顶点集的图，其中两个双射 $\sigma$ 和 $\sigma'$ 相邻当且仅当它们在除两个相邻顶点 $a, b \in V(X)$ 外的所有顶点上一致，且 $\sigma(a), \sigma(b) \in V(Y)$ 在 $Y$ 中相邻。解决了 Wang、Lu 和 Chen 的一个猜想，我们完全刻画了当 $Y$ 为完全二部图时 $\mathsf{FS}(X, Y)$ 的连通性。我们进一步将结果推广到 $Y$ 为完全多部图的情形。我们还确定了当 $X$ 为二部图且 $Y$ 为完全二部图时 $\mathsf{FS}(X, Y)$ 恰有两个连通分支的条件。