关于熟人-陌生人图的直径

给定具有相同顶点数的简单图 $X$ 和 $Y$，熟人-陌生人图 $\mathsf{FS}(X, Y)$ 以从 $V(X)$ 到 $V(Y)$ 的所有双射为顶点，其中两个双射相邻当且仅当它们在 $V(X)$ 的两个相邻元素上不同且在 $Y$ 中的像相邻。我们研究熟人-陌生人图连通分支的直径：$\mathsf{FS}(X,Y)$ 一个分支的直径对应于从该分支中一个构型到达另一构型所需的最大交换次数。我们证明 $\mathsf{FS}(\mathsf{Path}_n, Y)$ 的任意分支具有 $O(n^2)$ 直径，且 $\mathsf{FS}(\mathsf{Cycle}_n, Y)$ 的任意分支具有 $O(n^4)$ 直径，当 $\mathsf{FS}(\mathsf{Cycle}_n, Y)$ 连通时可改进为 $O(n^3)$。这些结果解决了 Defant 和 Kravitz 提出的一个开放问题。利用显式构造，我们证明存在 $n$ 顶点图 $X$ 和 $Y$ 使得 $\mathsf{FS}(X,Y)$ 有一个直径为 $e^{\Omega(n)}$ 的分支。这以否定方式回答了 Alon、Defant 和 Kravitz 提出的一个问题。作为推论，我们观察到对于这样的 $X$ 和 $Y$，$\mathsf{FS}(X,Y)$ 该分支上的惰性随机游走具有 $e^{\Omega(n)}$ 混合时间。该结果偏离了有关快速混合马尔可夫链的相关经典定理，并推进了 Alon、Defant 和 Kravitz 的另一个开放问题。我们以若干未来研究建议作结。