关于朋友与陌生人图的结构性质

给定两个具有相同顶点数的图$X$和$Y$，朋友与陌生人图$\mathsf{FS}(X, Y)$以从$V(X)$到$V(Y)$的所有$n!$个双射为其顶点，双射$\sigma, \tau$相邻当且仅当它们在$V(X)$的两个元素上不同，且这两个元素在$Y$中的映射相邻。本文研究了对某集合中所有图$X$而言$\mathsf{FS}(X, Y)$连通的充要条件。在取$X$为所有双连通图之集合的设定下，我们证明$\mathsf{FS}(X, Y)$对所有双连通$X$连通当且仅当$\overline{Y}$是一棵由大小两两互素的树组成的森林；这解决了Defant与Kravitz的一个猜想。我们还开创并显著推进了关于连通图$X$下$\mathsf{FS}(X, \text{Star}_n)$围长的研究，尤其聚焦于$\text{Star}_n$的中心顶点绕所有此类图$X$运动以达到围长所必需的轨迹。